Gimęs 1991 m. vasario 14 d. Kaune.
2010 m. laimėjo auksą pasaulio jaunių čempionate, 2013 m. tapo Europos U-23 amžiaus grupės čempionu (62,40 m), 2014 m. pateko į finalą Europos suaugusiųjų čempionate ir užėmė 10 vietą.
Dalyvavo 2016 m. Rio olimpinėse žaidynėse, kur pateko į finalą ir užėmė 12 vietą (60,66 m).
Po olimpinių žaidynių rezultatai kur kas pagerėjo ir Londone 2017 m. pasaulio čempionate A. Gudžius iškovojo auksą, diską numetęs 69,21 m. Po metų, 2018-aisiais, Berlyne vykusiame Europos čempionate jis irgi tapo čempionu (68,46 m).
2019 m. pasualio čempionate Katare užėmė 12 vietą, atidėtose 2020 m. olimpinėse žaidynėse Tokijuje buvo 6-as (64,11 m).
2022 m. pasaulio čempionate Judžine (JAV) vėl lipo ant apdovanojimų pakylos, kai diską numetė 67,55 m. ir užėmė trečiąją vietą. Ant pakylos A. Gudžius lipo kartu su sidabrą iškovojusiu Mykolu Alekna.
2002 m. Europos ir 2023 m. pasaulio čempionatuose buvo 6-as, iškovojo teisę dalyvauti 2024 m. Paryžiaus olimpinėse žaidynėse.
A. Gudžius 2017 ir 2018 m. LTeam apdovanojimuose pripažintas geriausiu Lietuvos sportininku.