Gimęs 2000 m. rugpjūčio 25 dieną, legendinio disko metiko Virgilijaus Aleknos sūnus, lengvaatletis. Disko metikas yra ir jo jaunesnysis brolis Mykolas Alekna.
Sportininkas 2023 m. debiutavo pasaulio lenegvosios atletikos čempionate. Jame lietuvis diską numetė 62,57 m ir užėmė 21 vietą. 2024 m. jis pasirodė Europos čempionate Romoje (61,18 m ir užimta 18 vieta) bei Paryžiaus olimpinėse žaidynėse (58,66 m ir užimta 28 vieta).
Tuo metu 2025 m. Martynas Alekna surengė kol kas geriausią karjeros pasirodymą pasaulio čempionate Tokijuje. Disko metimo atrankos varžybose įrankį jis jau pirmuoju bandymu numetė net 67,16 m ir taip pravėrė pasaulio čempionato finalo dūris. Atrankos etape 25-erių sportininkas užėmė trečią vietą. Negana to, jis buvo arti asmeninio rekordo – nuo 2023 m. jis siekia 67,23 m.
Čempionato finale Martynas Alekna savo geriausiu bandymu užfiksavo 63,34 m rezultatą ir užėmė 7-ą vietą pasaulyje.